Solucionarios y Explicaciones Pedagógicas

Solucionarios y Explicación Didáctica ENP

Desarrollo formal paso a paso, estrategias rápidas de resolución y análisis de distractores según matriz PRONABEC.

ID: #16 Competencia Matemática Regularidad, Equivalencia y Cambio (Álgebra) Avanzado

ENP Beca 18 - Ecuaciones Cuadráticas

Las raíces de la ecuación cuadrática \( x^2 - 7x + k = 0 \) se diferencian en 3 unidades. ¿Cuál es el valor de la constante \( k \)?

k = 8

k = 10

CLAVE CORRECTA

k = 12

k = 14

DESARROLLO PEDAGÓGICO PASO A PASO

1. Por propiedades de Cardano-Vieta: \( x_1 + x_2 = 7 \) y \( x_1 x_2 = k \).
2. Por dato: \( x_1 - x_2 = 3 \).
3. Sumamos: \( 2x_1 = 10 \implies x_1 = 5 \), luego \( x_2 = 2 \).
4. \( k = x_1 x_2 = 5 \times 2 = 10 \).

Método Rápido / Truco Beca 18:

Identidad de Legendre: \( (x_1+x_2)^2 - (x_1-x_2)^2 = 4x_1 x_2 \implies 7^2 - 3^2 = 4k \implies 49 - 9 = 4k \implies 40 = 4k \implies k = 10 \).

Fundamento Teórico MINEDU:

Propiedades de las raíces de ecuaciones cuadráticas (Cardano y Legendre).

Análisis de Distractores: La opción C asume una diferencia de raíces errónea.